论文摘要：利用分数傅里叶变换测量物体的横向位移和倾斜

　　分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）的概念最早源于Condon的数学论文，Bargmann进一步发展了这些概念。Namias首先注意到分数傅里叶变换作为处理物理问题的数学工具的重要意义。它不仅对于分数傅里叶变换定义、性质和变换的本征函数进行了系统的讨论，而且成功用以处理诸多量子力学问题。虽然常规傅里叶变换早在60年代已成为光学系统分析的重要手段，然而分数傅里叶变换与光学的结合直到90年代才显出端倪。其中Lohmann提出的分数傅里叶变换的光学实现方法起了重要的推动作用。 　　分数傅里叶变换与常规傅里叶变换相比，它同时综合了信号空间域和空间频率域的信息，它的概念不但可以为一种信号广义双域联合表示，而且可以利用其变换的叠加性，使分数级次级联，实现多级、多通道滤波，从而使信息处理由传统的平面性结构向立体型结构转变，与傅里叶变换不同，分数傅里叶变换是部分空变的，分数级次p表征了其部分空变程度的大小。这样在我们进行滤波时我们就有了另一个可以调控的变量即分数傅里叶变换的阶次。从对分数傅里叶变换的理论分析我们认为分数傅里叶变换应该比傅里叶变换有更为广泛的应用前景。 　　目前分数傅里叶变换已经具有完整、严谨的理论系统。但分数傅里叶变换应用的研究方兴未艾。有关分数傅里叶变换的应用主要集中在分数傅里叶编码，分数傅里叶相关模式识别，分数泰伯效应的应用，分数傅里叶滤波，分数傅里叶变换在测量物体微位移方面的应用等。本论文主要讨论了分数傅里叶变换在测量物体微位移方面的应用，提出了一种可同时提取物体的面内位移和倾斜的信息的方法并设计了实验方案和装置。同时我们也进行了分数傅里叶变换的计算机模拟，并同理论的推导和计算模拟以及实验结果进行了对比和分析。 　　本论文所作的工作主要有三部分：本文的第一部分首先详尽地叙述了分数傅里叶变换理论的发展历史、理论基础、性质、以及分数傅里叶变换两种定义。并讨论了分数傅里叶变换的两种定义的等价性，介绍了分数傅里叶变换的光学实现的两种方法以及它们的优缺点。主要介绍了分数傅里叶变换的性质，以及分数傅里叶变换在维格纳表象中的表示。 　　本文的第二部分详细证明分数傅里叶变换的平移特性，并根据其平移特性推导出了如果物体同时发生了平移和倾斜，物体的分数傅里叶谱的表达形式。根据推导的公式我们发现物体的平移信息和倾斜信息同时包含在物体的分数傅里叶谱中，只要我们采取适当的方法就可以将它们同时提取出来，我们采用了对二次曝光的物体的分数傅里叶强度叠加谱再进行一次常规傅里叶变换的方法，得到了一个周期性的条纹分布。并根据上述的考虑，推导出了物体的倾斜和面内位移与条纹周期之间的关系。 　　本论文的第三部分给出了根据第二章的论述我们设计的实验装置。首先利用我们给出的实验装置得到两个不同阶次分数傅里叶变换的二次曝光的片子。然后将这两张片子分别进行常规的傅里叶变换，测出它们的条纹周期。根据这两个条纹周期就可以得到物体的面内位移和倾斜的信息。我们还对这一方法进行了计算机模拟，其结果与我们的理论推导基本吻合，但我们也发现了一些新的问题。我们也给出了实际的实验结果。 　　实验结果表明：用本文所提出的方法来实现对物体的微位移的检测是可行的，它可同时测出物体的面内位移和倾斜。但是，它的效果受的分数傅里叶变换的阶次的限制，它的装置也不紧凑，这些都是需要我们进一步的研究和改进的方面。同时，要将这一技术实用化，我们应将CCD与计算机处理引入到实验装置中，建立实时的处理机制。在这方面得工作还需进一步的改进。