论文摘要：两类生态模型解的渐近性及一类微分方程无条件稳定性研究

生物数学是架起生物学和数学的桥梁,利用数学理论和方法研究自然界的诸多问题.本文利用定性分析的方法、比较原理、特征值分析法、对数范数、构造Lyapunov函数及分支理论等方法和理论,研究了两类生态模型解的渐近性及一类四阶时滞微分方程解的无条件稳定性,其中包含模型的一致持久生存性、正平衡态的全局吸引性、局部和全局渐近性以及解的振动性等问题.
血液是人体赖以生存的命脉,因此干细胞造血是医学界所关注的焦点.数学模型则可以帮助医学界从理论上分析影响干细胞造血的各种因素,及其影响程度的大小.本文第二章中给出了具有时滞的血液模型.首先利用导数性质,得到了该模型正平衡态存在惟一性的充分条件;其次,利用特征值和振动性理论得到了该模型正平衡态全局渐近稳定性充分条件;然后,应用Hopf分支理论证明了该模型Hopf分支及近似分支周期解的存在性,并给出了周期解的近似表达式;最后,借助于MATLAB数学软件,举例并绘出了模型数值解的拟合图象,验证了文中定理条件的可行性.给出了各参数对干细胞造血的不同影响,得到了可以通过控制参数达到干细胞造血持久性的结论.
种群的持久生存问题是人们所关注的重要问题之一.种群与种群之间的捕食、竞争和互惠共存日趋激烈.研究种群的共存性、稳定性和持久生存等,对于保持生态平衡, 保护生态环境甚至挽救濒临灭绝的珍稀生物等具有非常重要的实际意义.因此,我们可以引入扩散项使种群保持持续生存.但在现实生态环境中,也可以通过引入反馈控制项使种群达到持久生存.当然,若两者同时引入更具有好的实际意义.本文第三章中,提出了既具有反馈控制项,又有扩散项和alpha_{i}类功能性反应函数的$n$种群非自治Lotka-Volterra竞争生态系统.利用比较原理得到了该模型的一致持久性的充分条件,通过构造Lyapunov函数给出了该模型正平衡态全局渐近稳定性的充分条件.最后,举出实例,验证了文中定理条件的正确性.
为了研究一个动力系统随时间的变化规律,需讨论微分方程解的性态.通常有三种方法:求出方程的解析解;求方程的数值解;对解的性态进行定性分析.本文第四章中运用定性分析的方法研究了一类四阶时滞微分方程解的无条件稳定性.运用对数范数的性质讨论了实例中解的振动性.最后，借助于MATLAB数学软件,举例并给出了模型数值解的拟合图象,验证了文中定理条件的可实现性.