论文摘要：脉冲泛函微分方程解的渐近性及一类中立型微分方程解的振动性研究

动力系统解的渐近行为是一个具有丰富内涵的重要概念,主要包括解的存在唯一性、稳定性、振动性及周期性等内容.这些内容揭示了动力系统的长期行为,因此它们在生态学、人口动力学和经济学等众多领域中发挥了重要的作用.在生态学中研究种群的共存性、稳定性和振动性等,对于保持生态平衡,保护生态环境甚至挽救濒临灭绝的珍惜生态种群具有非常重要的实际意义.
脉冲微分方程理论的研究，不仅丰富了已有的相匹配的微分方程理论,而且为研究物理、生物及经济等诸多方面的过程和现象,提供了更好的数学模型.虽然关于非脉冲微分方程各种性质的理论得到了广泛的发展,但由于脉冲微分方程许多理论和方法的特殊性使得其发展仍相对缓慢.特别的,对具有中立型脉冲时滞微分方程的研究仍缺少一些有效的方法.本文第二章研究了一类中立型脉冲泛函微分方程解的局部及全局存在唯一性.利用Schaefer不动点原理和Leray-Schauder非线性变换分别给出了该方程解的局部及全局存在唯一的充分条件,并举例说明了定理条件的可行性.
近年来,脉冲泛函微分方程理论不仅被人们越来越重视,而且被广泛地应用于现实世界中.人们对此类方程稳定性及振动性的研究变得越来越感兴趣,并取得了许多好的结果.本文第三章研究了一类具有正负系数的非线性脉冲泛函微分方程解的渐近性.利用构造Lyapunov泛函方法得出了该方程解渐近的充分条件,并举例说明了定理条件的可实现性.
在生态模型研究中,正解的存在性与解的振动性有着密切的关系,关于常系数线性时滞微分方程解的振动性已有大量的研究结果,而非自治方程的研究则相对较少.本文第四章给出了一类中立型非自治时滞微分方程的广义特征方程利用泛函分析理论和不动点原理分别得到了非自治时滞微分方程正解存在的充要条件以及广义特征方程根与时滞微分方程正解之间的关系,同时得到该时滞微分方程解振动的充分条件.所得结果包含了线性自治情况下的结果.