论文摘要：Von Neumann代数上的几类非线形方程的正定解及正定元的几何平均

本文引入了Von Neumann代数中的正定元的概念，应用表示定理给出了正定元的判定定理，证明了一系列有关的性质；引入并研究了Von Neumann代数上几类非线性方程，给出了这些方程有正定解的必要条件及充分条件，构造了正定解的递归序列，证明了Von Neumann代数中的单调有界原理，由此证明了递归序列的强收敛性；给出了点列强收敛的若干性质，进而证明了递归序列的强极限是有关方程的正定解；得到了渐进解的误差估计；在Von Neumann代数中引入并研究了两个正定元的度量几何平均与谱几何平均，并研究了它们的一系列性质。 第一节介绍了Von Neumann代数中的一些基本概念和性质，特别是有关正定元的一系列重要性质；在第二节、第三节分别研究了下列方程： x+ a*x-1a=e, x=a*x-2a=e 有正定解的必要条件与充分条件，并用两种递归方法求出其正定解，并给出解的一些性质，同时，还研究了这两个方程的一般情形（将其中的e换成任一正定元）的正定解性；第四节研究了高次算子方程 x+a*x-k a=e （这里是任一自然数）的正定解性；第五节引入并研究了Von Neumann代数中两个正定元a与b的度量几何平均和谱几何平均： g(a,b) = a1/2 (a-1/2ba-1/2) 1/2a1/2, f(a,b)=(g(a-1 ,b)) 1/2a(g(a-1 ,b)) 1/2 的概念，并给出它们的各种表达形式和一系列性质.